В заключение я приношу глубокую благодарность А. И. Лапину и И. Р. Шафаревичу, которым я обязана многими ценными замечаниями и указаниями.
Разумеется, мы не сможем рассказать здесь о всём творчестве Диофанта, ещё того менее, — о всём диофантовом анализе и его истории. Как мы уже говорили, мы будем следить в основном за той областью, которая получила название арифметики алгебраических кривых и которая состоит в нахождении рациональных точек алгебраической кривой (или рациональных решений одного алгебраического уравнения от двух переменных) и в изучении структуры этого множества. Поэтому читатель не найдёт здесь истории проблемы решения неопределённых уравнений в целых числах, которой занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр и которой продолжают заниматься и теперь. Мы не будем также касаться трудного и тонкого вопроса о существовании рационального (или целого) решения у неопределённого уравнения с целыми рациональными коэффициентами, поскольку этот вопрос выходит за пределы круга проблем, непосредственно идущих от Диофанта. Наконец, мы не будем касаться и истории десятой проблемы Гильберта, в которой требуется найти общий метод (или доказать, что такового не существует), «следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет» . Настоящая книга рассчитана на широкий круг читателей: её смогут прочесть преподаватели математики высших учебных заведений и школ, студенты физико-математических факультетов университетов и пединститутов, инженеры и школьники старших классов специализированных школ (с математическим уклоном). Строго говоря, для понимания книги достаточно знания аналитической геометрии и элементов дифференциального и интегрального исчисления, поэтому школьникам не все разделы будут доступны в равной степени. Чтобы облегчить пользование книгой, мы даём здесь «указатель», в котором расскажем, как книга построена и какие параграфы можно опустить без ущерба для понимания целого. В §1 рассказывается о самом Диофанте, в §2 — о системе чисел и символов, которые он вводит, в §3 приводятся сведения из диофантовых уравнений и алгебраической геометрии, необходимые для понимания дальнейшего. Следующий, §4, посвящён оценкам методов Диофанта историками математики. В §5 и §6 излагаются задачи Диофанта и исследуется, какими методами он решал неопределённые уравнения второго и третьего порядков. Здесь же рассказывается об однородных или проективных координатах. В §7 приводятся некоторые задачи Диофанта, которые потребовали теоретико-числового исследования. Эти задачи позволяют судить об объёме знаний античных математиков по теории чисел. Всё дальнейшее, т.е. §§8–13, посвящено истории методов Диофанта от исследований Виета и Ферма до двадцатых годов XX века. В §10 рассказывается о теореме сложения эллиптических интегралов Эйлера и о её применении для отыскания рациональных точек кривой третьего порядка у Якоби. Чтобы понять этот параграф, читатель должен быть знаком с понятием несобственного интеграла. Это место школьники могут пропустить. Чтение §11 они тогда должны начинать со слов «Теперь мы можем придать операции сложения точек...». В §§12–13, где говорится о работах А. Пуанкаре и некоторых последующих результатах, многие вопросы изложены схематично, другие, требующие введения новых сложных понятий, опущены. Всё же я надеюсь, что читатель получит некоторое представление о творчестве Диофанта и об истории арифметики алгебраических кривых, а может быть, и заинтересуется этой прекрасной областью математики.
Я надеюсь, что эта книга познакомит читателя с новой стороной античной математики. Ведь большинство из нас составляет о ней впечатление по «Началам» Евклида, сочинениям Архимеда и Аполлония. Диофант открывает нам мир арифметики и алгебры, не менее богатый и красочный.
Настоящая книга будет посвящена в основном методам Диофанта для решения неопределённых уравнений второго и третьего порядка в рациональных числах и их истории. Попутно мы рассмотрим вопрос и о числовой системе, которую применял Диофант, и о его буквенной символике. В этом гораздо более простом вопросе также до сих пор нет ясности: большинство историков науки считает, что Диофант ограничивался областью положительных рациональных чисел и не знал отрицательных чисел. Мы постараемся показать, что это не так, что именно в «Арифметике» Диофанта область чисел была расширена до поля рациональных чисел Q.
Заметим ещё, что если история интеграционных методов Архимеда в основном завершается созданием интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, то история методов Диофанта растягивается ещё на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля. Поэтому-то история диофантова анализа особенно интересна.
Между тем простой разбор задач Диофанта показывает, что он не только поставил проблему решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Надо при этом иметь в виду, что в античной математике общие методы никогда не излагались «в чистом виде», отдельно от решаемых задач. Так, например, поступал Архимед: определяя площади эллипса, сегмента параболы, поверхности шара, объёмы шара и других тел, он применял метод интегральных сумм и метод предельного перехода, однако нигде не дал общего абстрактного описания этих методов. Учёным XVI–XVII веков приходилось тщательно изучать и перелагать по-новому его сочинения, чтобы выделить оттуда методы Архимеда. Аналогично обстоит дело и с Диофантом. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т.е. в то же время, когда был разгадан и Архимед. В своих исследованиях мы пойдём вслед за Виетом и Ферма, т.е. будем анализировать решение конкретных задач, чтобы понять применённые там общие методы.
В наши дни каждый, кто занимался математикой как профессионал или как любитель, слышал о диофантовых уравнениях и даже о диофантовом анализе. За последние 15–20 лет эта область сделалась «модной» благодаря своей близости к алгебраической геометрии — властительнице дум современных математиков. Между тем, о том, кто дал имя неопределённому анализу, о самом Диофанте, одном из наиболее интересных учёных античности, почти ничего не написано. О его работах даже историки науки имеют самое превратное представление. Большинство из них считает, что Диофант занимался решением отдельных задач, равносильных неопределённым уравнениям, применяя для этого хитроумные, но частные методы. Подробнее об этих оценках Диофанта мы скажем в §4.
И.Г.Башмакова. Диофант и диофантовы уравнения
Комментариев нет:
Отправить комментарий